第6章 数学和逻辑--1
第6章 数学和逻辑
6.1 组合数学基础
1、排列组合的基础知识
（1）两个基础问题
问题一：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天一项活动，有多少种不同的选
法？写出这些选法？
解析：
甲、乙；甲、丙；乙、丙
3种
问题二：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加
上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法，写出这些选法？
解析：
选甲乙去：甲、乙；乙、甲；
选甲丙去：甲、丙；丙、甲；
选乙丙去：乙、丙；丙 、乙；
6种
（2）排列组合的定义
组合的定义： 从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素并成一组，叫做从 n 个不同
元素中取出 m 个元素的一个组合 ；
排列的定义： 从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一
列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ；
注意掌握它们的区别： 排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关 。
（3）请判断如下问题是组合问题还是排列问题？
(a)设集合 A={a,b,c,d,e}，则集合 A 的含有 3 个元素的子集有多少个? 组合问题
(b)某铁路线上有 5 个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 排列问题
(c)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法? 组合问题
(d)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次? 组合问题
(e)从 4 个风景点中选出 2 个游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(f)从 4 个风景点中选出 2 个,并确定这 2 个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?
排列
（4）请尝试写出 a,b,c 这 3 个元素，选取 2 个元素的排列和组合的结果分别有哪些？
组合结果： ab , ac , bc
排列结果： ab , ac , ad , bc , bd , cd
D、解排列组合问题
① 要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成；
② 对于元素之间的关系，还要考虑是“有序的”还是“无序的，也就是会正确使用分
类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义；
（2）解题技巧
技巧 1：相邻问题——整体捆绑法 。
例：7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起，有多少不同排法？
解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他
五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有 A(6/6) * A(2/2) =1440 种。
例：5 个男生 3 个女生排成一排，3 个女生要排在一起，有多少种不同的排法？
解：因为女生要排在一起，所以可以将 3 个女生看成是一个人，与 5 个男生作全排列，
因此有 A(6/6) 种排法，其中女生内部也有 A(3/3) 种排法;
根据乘法原理，共有 A(3/3) * A(6/6) = 4320 种不同的排法。
技巧 2：不相邻问题——选空插入法
例：7名学生站成一排，甲乙互不相邻，有多少不同排法？
解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数
计算应为： A(5/5)*A(2/6) =3600 种。
例：学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票 12 张，8 个学生，4 个老师，要求老
师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？（写出计算公式，不需要计算）
解：先排学生共有 A(8/8) 种排法，然后把老师插入学生之间的空档，共有 7 个
空档可插，选其中的 4 个空档，共有 A(4/7) 种选法。根据乘法原理，共有的不同坐
法为 A(8/8) * A(4/7) = 33868800 。
技巧 3：复杂问题——总体排除法或排异法
例：正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有 个。
解：从 7 个点中取 3 个点的取法有 C(3/7) 种，但其中正六边形的对角线所含的中心
和顶点三点共线不能组成三角形，有 3 条，所以满足条件的三角形共有 C(3/7)-3=32
个。
例：从 43 人中任抽 5 人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种？
解：43 人中任抽 5 人的方法 C(5/43) 种，正副班长，团支部书记都不在内的抽法有
C(5/40)种，所以正副班长，团支部书记至少有 1 人在内的抽法有 C(5/43)-C(5/40) 种。
技巧 4：特殊元素——优先考虑法
例：乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名队员参加比赛，3 名主力队员要
安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排
共有 种。
解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 A3/3 种排法，而其余 7 名
队员选出 2 名安排在第二、四位置，有 A2/7 种排法，所以不同的出场安排共有
A3/3*A2/7=252 种。
技巧 5：多元问题——分类讨论法
例：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目；如果
将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 。
解：增加的两个新节目，可分为相邻与不相邻两种情况
(1) 不相邻：共有 A2/6 种；
(2) 相邻：共有 A2/2*A1/6 种。故不同插法的种数为： 30+12=42 ；
该题的另外一个解法为：
(1) 7 个节目的总排法为 A(7/7) ；
(2) 但其中 5 个节目是预先排好的，排法为 A(5/5) ；
(3) 那么剩余的 2 个节目的排法就要去掉这个重复的 5 个节目的排法，结果为 A(7/7)
/ A(5/5) = 7 * 6 = 42 ；
技巧 6：混合问题——先选后排法
例：从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土
地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 种。
解：先选后排，分步实施。由题意，不同的选法有 C(2/3) 种，不同的排法有 A
(3/3) 故不同的种植方法共有 C(2/3)*A(3/3)=18 。
技巧 7：相同元素分配——档板分隔法
例：把 10 本相同的书发给编号为 1，2，3 的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的
本数不小于其编号数，试求不同分法的种数有 种。
解：先分别给 1、2、3 号阅览室分配 0、1、2 本书，然后把剩下的 7 本书分配给这 3 个
阅览室，要求每个阅览室至少再分到 1 本。那么在 7 本书中有 6 个空，任意选取 2 个空，就
可以把这 7 本书分成左、中、右 3 个部分，分别分给 3 个图书室，所以不同的分法共有 C2/6
＝15 。
技巧 8：转化法
例： 高二年级 8 个班，组织一个 12 个人的年级学生分会，每班要求至少 1 人，名额分
配方案有 种？
转化法：对于某些较复杂的或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为
简单的、具体的问题来求解。
解：此题若直接去考虑的话，就会比较复杂。但如果我们将其转化为等价的其他问题，
就会显得比较清楚，方法简单，结果容易理解。此题可以转化为：插板问题，结果为
C7/11=330 。
5、关于排列组合问题的小结
一、分清排列（先取再排）和组合（只取不排）
